حاسبة الأعداد الأولية

Q: ما هو العدد الأولي؟

العدد الأولي هو عدد صحيح موجب أكبر تماماً من 1، وله قاسمان موجبان متمايزان فقط: 1 ونفسه. ومن الأمثلة الشائعة 2 و3 و5 و7 و11 و13 و97.

Q: لماذا لا يُعد العددان 0 و1 أعداداً أولية؟

وفقاً للتعريف الرياضي الدقيق، يجب أن يمتلك العدد الأولي قاسِمين موجبين متمايزين تماماً. العدد 1 له قاسم موجب واحد فقط (نفسه)، فلا يستوفي الشرط. أما العدد 0 فله عدد لا نهائي من القواسم لأن 0 مقسوماً على أي عدد غير صفري يساوي 0 وباقي 0.

Q: لماذا يُعد العدد 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد؟

أي عدد زوجي أكبر من 2 يقبل القسمة على 2 بالإضافة إلى 1 ونفسه (مثل 4 = 2 × 2، 6 = 2 × 3). وبما أن لها 3 قواسم على الأقل، فإن جميع الأعداد الزوجية الأكبر من 2 مركبة. العدد 2 هو الزوجي الوحيد الذي له قاسمان فقط.

Q: هل العددان 7 و9 أوليان؟

لا. العدد 7 أولي لأن قاسميه هما 1 و7 فقط. أما 9 فهو عدد مركب لأن له ثلاثة قواسم موجبة: 1 و3 و9 (3 × 3 = 9).

Q: كيف تتحقق مما إذا كان عدد كبير أولياً؟

للأعداد الصغيرة، تختبر الحواسيب القواسم الأولية حتى الجذر التربيعي ⌊√n⌋. أما للأعداد الصحيحة 64 بت حتى 18 كوينتيليون، فإن اختبارات ميلر-رابين الحتمية تقيم 7 قواعد مثبتة رياضياً (2، 325، 9375، 28178، 450775، 9780504، 1795265022) بيقين رياضي 100%.

Q: ما هو أكبر عدد أولي؟

لا يوجد عدد أولي هو الأكبر، حيث أثبت إقليدس نحو 300 ق.م وجود عدد لا حصر له من الأعداد الأولية. ومع ذلك، فإن أكبر عدد أولي معروف حالياً اكتشفه مشروع GIMPS هو: 2^136,279,841 − 1 ويحتوي على 41,024,320 رقماً.

Q: ما هي الأعداد الأولية نسبياً (المتبادلة)؟

يكون عددان أوليين فيما بينهما إذا كان القاسم المشترك الأكبر (GCD) لهما يساوي 1. ولا يلزم أن يكون أي منهما أولياً بمفرده؛ فعلى سبيل المثال 8 (2³) و9 (3²) كلاهما مركب، لكن gcd(8, 9) = 1، فهما أوليان فيما بينهما.

Q: كم عدداً أولياً يقع بين 1 و100؟

يوجد بالضبط 25 عدداً أولياً بين 1 و100: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، و97. ومجموعها 1,060.

Q: كيف يعمل التحليل إلى العوامل الأولية على آلة حاسبة Casio fx-991ES؟

في النماذج المدعومة مثل Casio fx-991ES PLUS، أدخل العدد الصحيح، ثم اضغط على [=]، ثم اضغط على [SHIFT] متبوعاً بمفتاح [FACT] (فوق مفتاح الدرجات/الدقائق). ستعرض الشاشة تحليله الأولي مباشرة.

الهندسة الحسابية

كيف تعمل حاسبة الأعداد الأولية لدينا

صُممت لتحقيق السرعة الفائقة واليقين الرياضي والوضوح التعليمي التام.

حاسبة الأعداد الأولية هي أداة رياضية دقيقة تحدد ما إذا كان أي عدد صحيح معين أوليًا أم مركبًا. تختبر قابلية القسمة، وتتحقق من امتلاك العدد لقاسمين موجبين فقط، وتحسب عوامله الأولية، وتحدد الأعداد الأولية المجاورة بيقين رياضي تام وشرح خطوة بخطوة.

مخطط انسيابي تفاعلي لعملية الحساب

انقر على أي مرحلة لاستعراض الخطوات الرياضية بالتفصيل:

Live Input:

1

أدخل عددًا صحيحًا

اكتب أي عدد طبيعي في حقل الإدخال أو انقر على أحد الأمثلة الجاهزة.

2

انقر على فحص العدد

يقوم المحرك بتنفيذ القسمة التجريبية حتى الجذر أو اختبارات ميلر-رابين الحتمية.

3

طالع النتائج والبرهان

اطلع على البرهان الرياضي، خطوات القسمة، العوامل الأولية والأعداد الأولية المجاورة.

مجموعة الأدوات الشاملة

أدوات الأعداد الأولية

حاسبات متخصصة مصممة لإجراء عمليات واستقصاءات رياضية محددة.

Showing 25 of 25 tools

Lists & Ranges

مولد الأعداد الأولية

توليد جداول وقوائم كاملة للأعداد الأولية في أي مجال مع إمكانية النسخ بصيغة CSV.

فتح الأداة ←

Check & Factors

التحليل إلى العوامل الأولية

تفكيك الأعداد المركبة إلى قوى عوامل أولية مع شجرة تفاعلية وسلم القسمة.

فتح الأداة ←

Lists & Ranges

العدد الأولي التالي والسابق

تحديد أقرب الأعداد الأولية المحيطة بأي عدد مع حساب المسافة الدقيقة بينها.

فتح الأداة ←

Lists & Ranges

العدد الأولي رقم N

البحث عن العدد الأولي حسب ترتيبه: من الأول (2) حتى العاشر آلاف (104,729).

فتح الأداة ←

Σ

Lists & Ranges

مجموع الأعداد الأولية

حساب المجموع الدقيق لكافة الأعداد الأولية ضمن نطاق مخصص بحسابات BigInt الدقيقة.

فتح الأداة ←

Lists & Ranges

الأعداد الأولية بين قيمتين

عد وعرض الأعداد الأولية المحصورة بين حدين مع حساب الكثافة والأعداد التوأم.

فتح الأداة ←

Check & Factors

فاحص الأعداد الأولية فيما بينها

How to Check If a Number Is Prime

Simple algorithms and copyable code examples in Python, JavaScript, C++, Java, and Go.

فتح الأداة ←

الأسس الرياضية

ما هو العدد الأولي؟

اللبنات الأساسية غير القابلة للتجزئة للأعداد الصحيحة وعلم الحساب.

النموذج الهندسي: اختبار المستطيل للأولية

العدد n أولي إذا كانت n بلاطة لا يمكنها تكوين سوى صف واحد بأبعاد 1 × n. إذا أمكن تكوين مستطيل مصمت بعرض > 1، فالعدد مركب.

العدد (n):

أمثلة للتجربة:

12 is Composite: 3 rectangular arrangements possible

Displaying a 3 × 4 rectangular array with zero remainder.

التعريف والأمثلة

في الرياضيات، العدد الأولي هو عدد صحيح موجب أكبر تمامًا من 1، وله قاسمان موجبان متمايزان فقط: الواحد والعدد نفسه.

الأعداد الأولية العشرة الأولى هي: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

أي عدد صحيح أكبر من 1 وليس أوليًا يُسمى عددًا مركبًا، لأنه يتكون من حاصل ضرب أعداد أولية أصغر منه.

Quick Integer Classifier (Tap 0, 1, 2, or Any Integer)

2 is the ONLY even prime — factors: 2 (exactly 2 divisors).

Indivisible emerald prime polyhedra beside a factored composite block — **The Building Blocks of Arithmetic** Like chemical elements in chemistry, prime numbers cannot break down further—every composite whole splits cleanly into a unique product of primes.

لماذا لا يُعد 0 و 1 أعدادًا أولية

0 ليس أوليًا ولا مركبًا: يمتلك عددًا لا نهائيًا من القواسم لأن حاصل قسمة 0 على أي عدد غير صفري يساوي 0.

1 ليس أوليًا ولا مركبًا: له قاسم موجب وحيد (نفسه). ولو اعتُبر أوليًا لانهارت وحدانية التحليل في المبرهنة الأساسية للحساب.

Classification map of whole numbers: 0 (zero divisors rule), 1 (unit), Primes (2 factors), and Composites (3+ factors).

مقارنة: الأعداد الأولية مقابل الأعداد المركبة

الفروق الرياضية الجوهرية بين صفي الأعداد الصحيحة الموجبة:

الخاصية	الأعداد الأولية	الأعداد المركبة
التعريف	قاسمان موجبان مختلفان بالضبط: 1 والعدد نفسه	أكثر من قاسمين موجبين
عدد القواسم	قاسمان بالضبط	3 قواسم أو أكثر
أصغر عنصر	2 (العدد الأولي الزوجي الوحيد)	4 (2 × 2)
التحليل إلى عوامل أولية	العدد نفسه (p¹)	حاصل ضرب فريد لقوى أولية (p₁ᵃ × p₂ᵇ …)
الأعداد الصحيحة الزوجية	فقط 2 عدد أولي؛ جميع الأعداد الزوجية الأخرى مركبة	جميع الأعداد الزوجية > 2 (4، 6، 8، 10، 12…)
أمثلة	2, 3, 5, 7, 11, 13, 97, 101	4, 6, 8, 9, 12, 51, 91, 100

لماذا يُعد 2 العدد الأولي الزوجي الوحيد

العدد الزوجي يقبل القسمة على 2. العدد 2 له قاسمان فقط: 1 و 2، محققًا التعريف. أما أي عدد زوجي n > 2 فيقبل القسمة على 1 و 2 و n (3 قواسم على الأقل).

هل 7 و 9 أعداد أولية؟

7 عدد أولي: قاسماه الوحيدان 1 و 7. 9 ليس عددًا أوليًا: 9 يقبل القسمة على 3 (3 × 3 = 9). كون العدد فرديًا لا يعني إطلاقًا أنه أولي!

الطرائق والبراهين

كيفية التحقق مما إذا كان العدد أوليًا

حد الجذر التربيعي الكلاسيكي لقابلية القسمة وخوارزميات الفحص خطوة بخطوة.

محاكي تفاعلي: حد الجذر التربيعي والقسمة التجريبية

شاهد كيف يقلص حد الجذر ⌊√n⌋ عدد عمليات الفحص المطلوبة لإثبات الأولية بشكل هائل.

عدد الفحص (n):

جرّب حالات الاختبار:

حد الجذر التربيعي

√97 ≈ 9.85

p ≤ 7 (⌊√97⌋ = 9)

الأعداد الأولية للاختبار

4

2, 3, 5, 7

الاختبارات الموفرة بفضل الحد

92

92 / 96 (95.8%)

Search Horizon Visualization (1 → ⌊√n⌋ → n) Only prime divisors ≤ ⌊√n⌋ are needed

فحوصات قابلية القسمة حتى √n

Multi-stage lattice filter separating composite numbers from emerald prime values — **Eliminating Multiples Early** Small prime filters (2, 3, 5, 7…) sift out composites immediately, shrinking candidate tests up to √N.

Why √N Is the Exact Cutoff Every factor pair (a × b = n) has one member ≤ √n and the mirror cofactor ≥ √n.

فحص قابلية القسمة حتى √n

للتحقق مما إذا كان العدد n أوليًا، لست بحاجة لفحص جميع الأعداد حتى n. يكفي رياضيًا اختبار الأعداد الأولية التي لا تتجاوز جذره التربيعي: d ≤ ⌊√n⌋.

سر عمل هذه القاعدة: تظهر القواسم دائمًا في أزواج متكاملة: a × b = n. لو كان كلا العاملين أكبر من √n لزاد ناتجهما عن n، وهذا مستحيل.

مثال محلول: هل 97 عدد أولي؟

احسب √97 ≈ 9.848. نختبر فقط الأعداد الأولية ≤ 9.
الأعداد الأولية التي يجب اختبارها هي: 2، 3، 5، 7.
97 ÷ 2 = 48 والباقي 1 (غير قابل للقسمة، ينتهي بالرقم الفردي 7).
97 ÷ 3 = 32 والباقي 1 (غير قابل للقسمة، مجموع الأرقام 9+7=16 لا يقبل القسمة على 3).
97 ÷ 5 = 19 والباقي 2 (غير قابل للقسمة، لا ينتهي بـ 0 أو 5).
97 ÷ 7 = 13 والباقي 6 (غير قابل للقسمة).
جميع المرشحين الأوليين ≤ √97 فشلوا في قسمة 97 بدون باقٍ. لذلك، ثبت أن 97 عدد أولي!

مثال محلول: لماذا يُعد 91 عددًا مركبًا؟

احسب √91 ≈ 9.539. نختبر فقط الأعداد الأولية ≤ 9.
الأعداد الأولية التي يجب اختبارها هي: 2، 3، 5، 7.
91 ÷ 2 = 45 والباقي 1 (غير قابل للقسمة).
91 ÷ 3 = 30 والباقي 1 (غير قابل للقسمة، مجموع الأرقام 9+1=10).
91 ÷ 5 = 18 والباقي 1 (غير قابل للقسمة، لا ينتهي بـ 0 أو 5).
91 ÷ 7 = 13 والباقي 0 (يقسم بدون باقٍ!).
بما أن 7 قاسم، فإن 91 عدد مركب: 91 = 7 × 13.

اختصارات ذهنية لقابلية القسمة

يمكنك استبعاد العديد من الأعداد المركبة بسرعة باستخدام قواعد الحساب الذهني البسيطة:

القسمة على 2: الرقم الأخير زوجي (0، 2، 4، 6، 8).
القسمة على 3: مجموع جميع الأرقام هو مضاعف للعدد 3 (مثلاً للعدد 51: 5+1=6، إذن 51 ÷ 3 = 17).
القسمة على 5: الرقم الأخير هو 0 أو 5.
قاعدة 6k ± 1: كل عدد أولي أكبر من 3 يمكن كتابته على الصورة 6k − 1 أو 6k + 1. في حين أن ليست كل الأعداد من هذه الصورة أولية، فإن أي عدد ليس على هذه الصورة هو مركب بالتأكيد!

الحساب الذهني والاختصارات

قواعد قابلية القسمة واختصارات الأولية

قواعد ذهنية سهلة لاستبعاد الأعداد المركبة فورًا دون الحاجة إلى آلة حاسبة.

مخطط تفاعلي: عجلة باقي القسمة على 6 (6k ± 1)

كل عدد أولي أكبر تمامًا من 3 يقع حصرًا في إحدى الصيغتين 6k + 1 أو 6k - 1.

اختبر العدد الصحيح (n):

جرّب أمثلة:

قاعدة الأولية 6k ± 1

97 = 6 × 16 + 1

Remainder dividing by 6: 1 → 6k + 1

Interactive Divisibility Scanner (Test Any Number Against All 10 Rules) Testing 2,730 — divisible by 2, 3, 5, 6, 7, 13 (6 rules match).

القاسم	قاعدة قابلية القسمة والنهج الذهني	تطبيق عملي
2	الرقم الأخير زوجي: 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8.	248 ينتهي بـ 8 ← يقبل القسمة على 2
3	مجموع جميع الأرقام الفردية يقبل القسمة على 3.	453 ← 4+5+3 = 12 (يقبل القسمة على 3) ← يقبل القسمة على 3
4	العدد المكوّن من آخر رقمين يقبل القسمة على 4.	3,116 ينتهي بـ 16 (16 ÷ 4 = 4) ← يقبل القسمة على 4
5	الرقم الأخير إما 0 أو 5.	895 ينتهي بـ 5 ← يقبل القسمة على 5
6	يجتاز العدد اختباري القسمة على 2 (زوجي) و3 (مجموع الأرقام).	732 زوجي و 7+3+2 = 12 ← يقبل القسمة على 6
7	ضاعف الرقم الأخير واطرحه من الباقي. الناتج يقبل القسمة على 7.	672 ← 67 − (2×2) = 63 (63 ÷ 7 = 9) ← يقبل القسمة على 7
8	العدد المكوّن من آخر ثلاثة أرقام يقبل القسمة على 8.	5,128 ينتهي بـ 128 (128 ÷ 8 = 16) ← يقبل القسمة على 8
9	مجموع جميع الأرقام الفردية يقبل القسمة على 9.	2,871 ← 2+8+7+1 = 18 (18 ÷ 9 = 2) ← يقبل القسمة على 9
11	المجموع المتناوب للأرقام (جمع-طرح-جمع...) يساوي 0 أو مضاعفاً للعدد 11.	913 ← 9 − 1 + 3 = 11 ← يقبل القسمة على 11
13	أضف 4 أضعاف الرقم الأخير إلى الجزء المتبقي. المجموع يقبل القسمة على 13.	299 ← 29 + (9×4) = 65 (65 ÷ 13 = 5) ← يقبل القسمة على 13

قاعدة الأولية 6k ± 1

كل عدد أولي أكبر تمامًا من 3 يقع حصرًا في إحدى الصيغتين 6k + 1 أو 6k - 1.

6k − 1 | 6k + 1

لماذا هذا مضمون: يمكن تقسيم أي عدد صحيح إلى إحدى ست صيغ: 6k، 6k+1، 6k+2، 6k+3، 6k+4، 6k+5 (وهي 6(k+1)−1).

الصيغ 6k و 6k+2 و 6k+4 دائماً زوجية (تقبل القسمة على 2).
الصيغة 6k+3 تقبل القسمة دائماً على 3.

تحذير هام: هذا شرط ضروري ولكنه غير كافٍ. بينما كل عدد أولي > 3 له هذه الصيغة، فإن بعض الأعداد من هذه الصيغة مركبة (مثل 25 = 6(4)+1 و 35 = 6(6)−1). تحقق دائماً من المرشحين باستخدام القسمة التجريبية المحدودة.

لماذا لا توجد صيغة بسيطة للأعداد الأولية

في عام 1772، اكتشف ليونهارد أويلر كثيرة الحدود التربيعية المذهلة f(n) = n² + n + 41 التي تنتج أعداداً أولية فقط لكل عدد صحيح n = 0, 1, 2, ..., 39 (40 عدداً أولياً متتالياً: 41، 43، 47، 53، 61، ...، 1601).

f(n) = n² + n + 41

ومع ذلك، عند n = 40، تنتج كثيرة الحدود 40² + 40 + 41 = 1,681 = 41²، مما يثبت أنه لا توجد كثيرة حدود جبرية غير ثابتة يمكنها توليد أعداد أولية حصرياً إلى ما لا نهاية.

Click any n (0–45) to verify f(n): f(0) = 41 (Prime)

شبكة مرجعية بصرية

جدول الأعداد الأولية من 1 إلى 100

شبكة تفاعلية 10×10. استخدم محاكي غربال إراتوستينس لمتابعة استبعاد الأعداد المركبة مرحلة بمرحلة.

الأعداد الأولية (1–100) Σ = 1,060

أولي (25 عدداً: 2، 3، 5، 7، 11، … 97)

مركب (74 عدداً: مضاعفات الأعداد الأولية المختبرة)

ليس أولياً ولا مركباً (1) (عنصر الوحدة: قاسم واحد بالضبط)

طبق الخوارزمية التاريخية: اشطب مضاعفات 2 و 3 و 5 و 7 لعزل كافة الأعداد الأولية الـ 25.

دليل موسع

الأعداد الأولية من 1 إلى 1,000

يوجد بالضبط 168 عددًا أوليًا محصورة بين 1 و 1,000.

مخطط تفاعلي: توزيع الأعداد الأولية حسب المئات

انقر على عمود أي مئة لفرز الأعداد الأولية التابعة لها.

عرض 168 عدداً أولياً مثبتاً (من 1 إلى 1000) (Σ = 76,127)

استعراض الأعداد الأولية الـ 168 حتى 1,000 ▾

انقر على أي عدد أولي أدناه لتحميله في الآلة الحاسبة.

محطات المتتالية

المحطات التاريخية في متتالية الأعداد الأولية

تحدد هذه الأعداد المرجعية حدودًا تاريخية بالغة الأهمية في نظرية الأعداد وعلم التشفير.

الترتيب في المتتالية (n):

محطات بارزة:

محدد العدد رقم N ومنحنى النمو التقاربي p(100) = 541 · 100 × ln(100) ≈ 461

Slide Rank (1–10,000):

Exact p(n) n · ln(n)

قيمة العدد الأولي النوني

541

p(100)

الأعداد الأولية المجاورة

p₉₉: 523 · p₁₀₁: 547

p(n−1) · p(n+1)

الرتبة في متتالية الأعداد الأولية

#100

متتالية OEIS A000040

المحطات الرئيسية في متتالية الأعداد الأولية

تمثل هذه الأعداد الأولية المرجعية حدوداً مهمة في الرياضيات والاختبارات الحسابية ونظرية الأعداد:

#1 → 2

p₁ = 2

أصغر عدد أولي، وأول عدد أولي موجب، والعدد الأولي الزوجي الوحيد في الوجود. جميع الأعداد الأولية اللاحقة هي أعداد صحيحة فردية.

#25 → 97

p₂₅ = 97

أكبر عدد أولي مكون من رقمين. يوجد بالضبط 25 عدداً أولياً بين 1 و100، وتشكل 25% من جميع الأعداد الصحيحة ذات الرقمين في النظام العشري.

#100 → 541

p₁₀₀ = 541

العدد الأولي المئة البارز. يمثل اكتمال أول مئة عدد أولي، بكثافة إجمالية للأعداد الأولية تبلغ 18.5% عبر هذا النطاق.

#1,000 → 7,919

p₁₀₀₀ = 7,919

العدد الأولي الألف. يثبت أن الأعداد الأولية تصبح متباعدة تدريجياً كلما كبرت الأعداد: يتطلب الأمر 7,919 عدداً صحيحاً للعثور على 1,000 عدد أولي (كثافة 12.6%).

#5,000 → 48,611

p₅₀₀₀ = 48,611

العدد الأولي رقم خمسة آلاف. يقع مباشرة تحت عتبة 50,000، ويظهر كثافة محلية تبلغ حوالي 10.3%.

#10,000 → 104,729

p₁₀₀₀₀ = 104,729

معيار العدد الأولي رقم 10,000. يغطي بحثنا الفوري في الجدول جميع الأعداد الأولية حتى هذا الحد دون أي تأخير من الخادم.

نظرية الأعداد التحليلية

دالة عد الأعداد الأولية π(x) والكثافة

استكشف التناقص الطبيعي في وتيرة ظهور الأعداد الأولية ومبرهنة غاوس لتوزيعها.

أدخل الحد الأعلى (x):

حدود مسبقة:

مقياس الكثافة ومؤشر التقدم التفاعلي كثافة الأعداد الأولية: 16.80% (~1/6)

0% 25% (x=100) 50% 100%

العدد الدقيق لـ π(x)

168

أعداد أولية ≤ x تماماً (≤ 1,000)

كثافة الأعداد الأولية

16.80%

النسبة المئوية للأعداد الصحيحة الأولية

تقدير مبرهنة الأعداد الأولية لغاوس

144.76

الخطأ النسبي (%): −13.8%

تعداد الأعداد الأولية حسب قوى العشرة

كلما زادت الأعداد، أصبحت الأعداد الأولية أكثر تباعداً، ومع ذلك يوجد عدد لا نهائي منها. لاحظ كيف يقترب تقريب مبرهنة الأعداد الأولية x / ln(x) في النسبة المئوية النسبية كلما نما x:

الحد الأعلى (x)	قيمة π(x) الدقيقة	الكثافة (%)	تقدير غاوس: x / ln(x)	الخطأ النسبي (%)
10	4	40.00%	4.34	+8.5%
100	25	25.00%	21.71	−13.1%
1,000	168	16.80%	144.76	−13.8%
10,000	1,229	12.29%	1,085.74	−11.7%
100,000	9,592	9.59%	8,685.89	−9.4%
1,000,000	78,498	7.85%	72,382.41	−7.8%
10,000,000	664,579	6.65%	620,420.69	−6.6%
100,000,000	5,761,455	5.76%	5,428,681.02	−5.8%

ماذا تعني دالة العد π(x)؟

في نظرية الأعداد، لا تشير π(x) إلى الثابت الهندسي π ≈ 3.14159. بل اعتمد علماء الرياضيات في القرن الثامن عشر بقيادة كارل فريدريش غاوس الحرف اليوناني π (من plēthos، بمعنى "الكثرة") للدلالة على دالة عد الأعداد الأولية: العدد الدقيق للأعداد الأولية التي تقل عن أو تساوي x.

على عكس الدوال الجبرية، فإن π(x) هي دالة درجية تزداد بمقدار 1 في كل مرة يعبر فيها x عدداً أولياً.

مبرهنة الأعداد الأولية (PNT)

أثبتها بشكل مستقل في عام 1896 كل من جاك هادامارد وشارل جان دي لا فالي بوسان، وتنص مبرهنة الأعداد الأولية على أنه كلما اقترب x من اللانهاية، فإن توزيع الأعداد الأولية يتبع:

π(x) ~ x / ln(x)

تكشف هذه المبرهنة أن احتمال كون عدد صحيح مختار عشوائياً بالقرب من x عدداً أولياً هو تقريباً 1 / ln(x).

Exact π(x) vs Gauss’s Li(x) vs x/ln(x) As upper bound x grows toward 10⁸, prime density smoothly thins like 1/ln(x) while Gauss’s logarithmic integral Li(x) hugs the true count far more closely than x/ln(x).

تحليل النطاقات

البحث عن الأعداد الأولية ضمن نطاق

ابحث عن الأعداد الأولية وعدّها واجمعها بدقة مطلقة بين أي قيمتين باستخدام BigInt.

بداية النطاق:

نهاية النطاق:

إعدادات مسبقة:

البحث عن الأعداد الأولية ضمن نطاق كثافة الأعداد الأولية: 25.0%

Density Histogram (10 bins) Prime Position Twin Prime Pair (Δ = 2)

تعداد الأعداد

25

π(end) − π(start−1)

المجموع الكلي

1,060

مجموع BigInt دقيق

أطراف النطاق

2 … 97

حدود شاملة

الأعداد الأولية المجاورة

حساب العدد الأولي التالي والسابق

تعرف على الأعداد الأولية المجاورة مباشرة، واحسب المسافة الدقيقة، واعثر على أكبر أولي ≤ n.

أدخل أي عدد صحيح موجب (n):

جرّب أمثلة:

مخطط تفاعلي: مسار مسافات القفز بين الأوليات 89 (Δ = 1)

n: 90

الأولي السابق (p < n)

89

Δ = −1

n

90

مركب مثبت

الأولي التالي (p > n)

97

Δ = +7

الأولي الأقرب 89 (Δ = 1)

max(p ≤ n) 89

فتح الأداة ←

الجوار المباشر مقابل الحدود الشاملة

عند إيجاد الأعداد الأولية المجاورة، تتطلب الدقة الرياضية التمييز بين الأعداد الأولية المجاورة تماماً والحدود الشاملة:

الأولي السابق تماماً (p < n): أكبر عدد أولي أصغر تماماً من n. بالنسبة إلى n = 97، الأولي السابق هو 89.
الأولي التالي تماماً (p > n): أصغر عدد أولي أكبر تماماً من n. بالنسبة إلى n = 97، الأولي التالي هو 101.
أكبر عدد أولي ≤ n: إذا كان n نفسه أولياً (مثل 97)، فإن أكبر عدد أولي ≤ 97 هو 97. وإذا كان n مركباً (مثل 90)، فهو 89.

مسلمة برتراند وتساوي المسافات

إلى أي مدى يمكن أن يبعد العدد الأولي التالي؟ في عام 1850، أثبت بافنوتي تشيبيشيف مسلمة برتراند: لأي عدد صحيح n > 3، يوجد دائماً عدد أولي واحد على الأقل p بحيث:

n < p < 2n − 2

التعادل المتساوي المسافة: بالنسبة لبعض الأعداد، يكون العدد الأولي السابق والتالي على نفس المسافة بالضبط. على سبيل المثال، لـ n = 6، السابق هو 5 (مسافة 1) والتالي هو 7 (مسافة 1). كلاهما أقرب عددين أوليين!

التحليل والخطوات

التحليل إلى العوامل الأولية مع الخطوات

كيف يتفكك أي عدد مركب بطريقة فريدة إلى حاصل ضرب قوى أعداد أولية.

مخطط تفاعلي لشجرة العوامل وسلم القسمة

أدخل أي عدد صحيح لتوليد كل من شجرة العوامل المرئية بصيغة SVG وسلم القسمة خطوة بخطوة.

العدد (n):

جرّب أمثلة:

الصيغة الأسية المعيارية

360 = 2³ × 3² × 5

حاسبة التحليل الكاملة ←

نظرية الأعداد والقاسم المشترك

فاحص الأعداد الأولية فيما بينها (التباين)

تحقق هل يشترك العددان في أي قواسم مشتركة بخلاف الواحد عبر خوارزمية إقليدس.

العدد الأول (a):

العدد الثاني (b):

جرّب أزواجاً:

✓ (8, 9) — أوليان فيما بينهما (أوليان نسبياً)

gcd(8, 9) = 1

قيمة القاسم المشترك الأكبر (GCD) 1

مخطط تفاعلي: التبليط الهندسي الإقليدي أكبر بلاطة مشتركة: 1 × 1

اكتشف إقليدس أن إيجاد gcd(a, b) يطابق تماماً إيجاد أكبر بلاطة مربعة يمكنها تبليط مستطيل بأبعاد a × b بسلاسة دون أي فجوات أو تداخل:

خطوات القسمة في خوارزمية إقليدس

9 = 8 × 1 + 1

8 = 1 × 8 + 0

هل يمكن لعددين مركبين أن يكونا أوليين فيما بينهما؟

نعم، بالتأكيد! هذا أحد أكثر المفاهيم التي يُساء فهمها على نطاق واسع في نظرية الأعداد الابتدائية. يكون العددان أوليين فيما بينهما (أو أوليين نسبياً) إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر هو 1، بغض النظر عما إذا كان العددان نفساهما أوليين أم لا.

gcd(a, b) = 1

تأمل 8 = 2³ (مركب) و 9 = 3² (مركب). لا يوجد أي منهما أولي! ومع ذلك، نظراً لأن تحليلهما إلى عوامل أولية لا يشترك في أي عوامل أولية، فإن gcd(8, 9) = 1، مما يجعلهما أوليين فيما بينهما تماماً.

لماذا تهم الأولية النسبية في التشفير

دالة مؤشر أويلر φ(n): تحسب عدد الأعداد الصحيحة حتى n التي تكون أولية نسبياً مع n. بالنسبة للأعداد الأولية، φ(p) = p − 1.
توليد مفاتيح RSA: يجب أن يكون الأس العام e أولياً نسبياً تماماً مع φ(n) = (p − 1)(q − 1) حتى يوجد معكوسه الضربي المعياري d.
توزيع التجزئة (Hash): اختيار أحجام دلاء تجزئة أولية نسبياً يمنع تكتل التجزئة في جداول التجزئة الحاسوبية عالية الأداء.

أخطاء شائعة

أعداد تبدو أولية (وهي مركبة في الواقع)

أعداد مركبة مخادعة توهم الطلاب والمبرمجين وتوقعهم في الخطأ بانتظام.

الفاحص التفاعلي: تشريح الأعداد الأولية الزائفة

تفكيك 91: أشهر عدد أولي زائف

91 = 7 × 13

√91 ≈ 9.54 (p ≤ 7)

النقطة المعرفية العمياء

ينتهي العدد 91 بـ 1، لذا يجتاز فحص الزوجية (2). مجموع أرقامه 9+1=10، لذا يجتاز 3. ولا ينتهي بـ 5. ولأن أياً من 7 أو 13 لا يظهر في جداول الضرب الابتدائية المعتادة، يفترض البشر لا شعورياً أن 91 لا بد أن يكون أولياً!

51 مركب

3 × 17

5 + 1 = 6 (÷ 3 → 51 = 3 × 17)

انقر لفحص التحليل ↓

57 مركب

3 × 19

5 + 7 = 12 (÷ 3 → 57 = 3 × 19)

انقر لفحص التحليل ↓

91 مركب

7 × 13

ينتهي العدد 91 بـ 1، لذا يجتاز فحص الزوجية (2). مجموع أرقامه 9+1=10، لذا يجتاز 3. ولا ينتهي بـ 5. ولأن أياً من 7 أو 13 لا يظهر في جداول الضرب الابتدائية المعتادة، يفترض البشر لا شعورياً أن 91 لا بد أن يكون أولياً!

انقر لفحص التحليل ↓

119 مركب

7 × 17

119 ÷ 7 = 17 (6k − 1)

انقر لفحص التحليل ↓

133 مركب

7 × 19

133 ÷ 7 = 19 (6k + 1)

انقر لفحص التحليل ↓

143 مركب

11 × 13

1 − 4 + 3 = 0 (÷ 11 → 11 × 13)

انقر لفحص التحليل ↓

161 مركب

7 × 23

161 ÷ 7 = 23 (6k − 1)

انقر لفحص التحليل ↓

221 مركب

13 × 17

221 ÷ 13 = 17 (6k − 1)

انقر لفحص التحليل ↓

247 مركب

13 × 19

247 ÷ 13 = 19 (6k + 1)

انقر لفحص التحليل ↓

289 مركب

17² (17 × 17)

√289 = 17 (17 × 17 = 289)

انقر لفحص التحليل ↓

323 مركب

17 × 19

18² − 1 = (18−1)(18+1) = 17 × 19

انقر لفحص التحليل ↓

لماذا تخدعنا هذه الأعداد؟ ينتهي العدد 91 بـ 1، لذا يجتاز فحص الزوجية (2). مجموع أرقامه 9+1=10، لذا يجتاز 3. ولا ينتهي بـ 5. ولأن أياً من 7 أو 13 لا يظهر في جداول الضرب الابتدائية المعتادة، يفترض البشر لا شعورياً أن 91 لا بد أن يكون أولياً!

عائلات مميزة

أنواع خاصة من الأعداد الأولية

استكشف فصائل أولية فريدة ذات خصائص جبرية مدهشة ومثيرة.

Geometric prime constellation spiral illuminating special prime classes — **Special Families Inside the Prime Constellation** Some primes carry extra symmetry—differing by 2 (Twins), sitting at 2ᵖ − 1 (Mersenne), reading identically backward (Palindromic), or remaining prime when reversed (Emirps).

Quick Special-Prime Scanner

Test any prime to see every special mathematical family it belongs to simultaneously.

عائلات مميزة

استكشف فصائل أولية فريدة ذات خصائص جبرية مدهشة ومثيرة.

الأعداد الأولية التوأم

أزواج من الأعداد الأولية التي يبلغ الفرق بينها 2 بالضبط: (p, p + 2). تفترض حدسية الأعداد الأولية التوأم الشهيرة غير المحلولة وجود عدد لا نهائي من هذه الأزواج.

أمثلة: (3, 5)، (5, 7)، (11, 13)، (17, 19)، (41, 43)، (71, 73)

أعداد ميرسين الأولية

الأعداد الأولية التي يمكن كتابتها على الصورة 2ᵖ − 1، حيث يجب أن يكون الأس p نفسه عدداً أولياً. وهي مرتبطة مباشرة بالأعداد المثالية الزوجية وتشكل أكبر الأعداد الأولية المعروفة.

أمثلة: 3 (2²−1)، 7 (2³−1)، 31 (2⁵−1)، 127 (2⁷−1)، 8191 (2¹³−1)

أعداد صوفي جيرمان الأولية

يكون العدد الأولي p عدد صوفي جيرمان أولياً إذا كان 2p + 1 أولياً أيضاً (يُعرف بالعدد الأولي الآمن). تلعب هذه الأعداد دوراً أساسياً في بروتوكولات التشفير.

أمثلة: 2 (2×2+1=5)، 3 (7)، 5 (11)، 11 (23)، 23 (47)، 29 (59)

الأعداد الأولية المتناظرة

عدد أولي يُقرأ بنفس الطريقة من اليمين إلى اليسار ومن اليسار إلى اليمين في النظام العشري. ومن المثير للدهشة أنه باستثناء 11، فإن جميع الأعداد الأولية المتناظرة تتكون من عدد فردي من الأرقام!

أمثلة: 2، 3، 5، 7، 11، 101، 131، 151، 181، 191، 313، 353، 727

بنية المحرك الخوارزمي

كيف تعمل خوارزميتنا الحسابية

إجراءات رياضية بالغة الشفافية مع إعلان أمين لدرجة اليقين والبرهان الرياضي.

مخطط التدفق: مسار القرارات الخوارزمية

تتبع المسار البرهاني الدقيق الذي يسلكه محركنا لتقييم أي عدد صحيح.

تتبع المدخلات:

تتبع حالات الاختبار:

المرحلة 1: التحقق من المدخلات

تحليل BigInt بدقة تامة

Whole Number (n ≥ 0)

المرحلة 2: مرشح قابلية القسمة السريع

Multiple-of-6 Rule

Fast test for 2, 3, and 5

المرحلة 3: محرك الأولية الأساسي

اختبار ميلر-رابين وحدود القسمة التجريبية

Instant list check

المرحلة 4: تركيب الحكم النهائي

أولي مثبت

برهان حتمي (نسبة الخطأ 0%)

n = 97 → #25 → أولي مثبت

Adaptive Primality Decision Tree Inputs automatically route to the fastest deterministic check: instant sieve lookup (≤105,000), 6k ± 1 trial division (≤10¹²), or 7-base Miller-Rabin (≤2⁶⁴−1).

7-Base Deterministic Verification Flow Unlike single-base Fermat tests that fail on Carmichael numbers like 561, testing all 7 verified bases eliminates every 64-bit pseudoprime without false positives.

الأعداد الصحيحة الصغيرة: القسمة التجريبية

للمدخلات حتى 1,000,000,000,000 (10¹²)، ننفذ القسمة التجريبية المحدودة باستخدام متتالية 6k ± 1 حتى ⌊√n⌋. إذا لم يتم العثور على قاسم، يتم إثبات الأولية رياضياً.

قوائم النطاق: غربال إراتوستينس

لاستعلامات النطاق، يستخدم محركنا غربال إراتوستينس المحسّن بمصفوفة البتات بتعقيد O(n log log n)، مما يصفي المضاعفات المركبة بدقة.

الأعداد الصحيحة الكبيرة: اختبار ميلر-رابين الحتمي

للأعداد حتى 2⁶⁴ − 1 (18.4 كوينتيليون)، نستخدم اختبار ميلر-رابين الحتمي بـ 7 قواعد باستخدام القواعد (2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022). يوفر هذا يقيناً حتمياً غير مشروط دون خطأ احتمالي.

حسابات BigInt فائقة الدقة

تتم معالجة جميع الحسابات الكبيرة من خلال كائنات BigInt الأصلية في JavaScript لمنع أخطاء التقريب للفاصلة العائمة IEEE-754 ذات 64 بت ما بعد 2⁵³ − 1 (9,007,199,254,740,991).

العملية / النمط	الطريقة الرياضية	الحد المضمون	يقين النتيجة
فحص الأولية	Square root check & advanced prime test	Numbers up to 18 quintillion	برهان حتمي (نسبة الخطأ 0%)
العوامل الأولية	Step-by-step division test	Numbers up to 1 trillion	برهان حتمي (نسبة الخطأ 0%)
العدد رقم N	Fast prime sequence lookup	Up to the 10,000th prime (104,729)	برهان حتمي (نسبة الخطأ 0%)
أولية في نطاق	Prime grid sieve	Ranges up to 10,000 numbers	برهان حتمي (نسبة الخطأ 0%)

التطبيقات العملية

لماذا تكتسب الأعداد الأولية هذه الأهمية البالغة

أبعد من النظرية المجردة، تحمي الأعداد الأولية أمن بيانات شبكة الإنترنت الحديثة بالكامل.

مخطط تفاعلي: عرض توضيحي تعليمي لتشفير RSA

شاهد كيف يولد ضرب عددين أوليين كبيرين البوابة المشفرة ذات الاتجاه الواحد لحماية الويب.

1. عددان أوليان سريان

p = 5, q = 7

تُحفظ بسرية تامة

2. المعامل العام (Modulus)

n = p × q = 35

سهل الحساب للغاية

3. مؤشر أويلر

(5−1) × (7−1) = 24

(p−1) × (q−1)

4. زوج المفاتيح (e, d)

(e = 5, d = 5)

Matching lock and key

الرسالة الأصلية (M < n):

Lock and unlock secret numbers

Locked Secret Message

12 locked with key → 17

Unlocked Original Message

17 unlocked with key → 12 ✓

للأغراض التعليمية فقط: يوضح هذا النموذج المبسط الآليات الجبرية لتشفير RSA باستخدام أعداد أولية صغيرة. يستخدم التشفير بالمفتاح العام في العالم الحقيقي أعداداً أولية بطول 2,048 بت أو 4,096 بت (أكثر من 600 رقم عشري).

Translucent indigo padlock secured by interlocking prime factor gears — **One-Way Prime Trapdoor Encryption** Multiplying two huge secret primes (p × q = N) takes microseconds, while factoring N backward without the key becomes astronomically difficult.

Interactive RSA Key Scale Explorer

Compare toy classroom locks with modern banking encryption scales:

6-bit Toy Modulus (~11 bits) Instant Break

Educational demonstration above uses small numbers (like 35) so every exponent step is visible by hand.

كثيراً ما تُسمى الأعداد الأولية "ذرات الرياضيات" لأن كل عدد صحيح مركب يمكن بناؤه عن طريق ضرب الأعداد الأولية معاً. لكن عدم قابليتها للعكس الجبري الفريد يجعلها أيضاً لا غنى عنها عبر الأنظمة الرقمية.

التشفير بالمفتاح العام

تعتمد بروتوكولات الأمان مثل تشفير RSA ومفاتيح SSH وشهادات TLS على البوابة السحرية الرياضية المتمثلة في أن ضرب عددين أوليين كبيرين أمر تافه، لكن تحليل حاصل ضربهما إلى عوامله مستحيل حسابياً.

جداول التجزئة ومولدات الأعداد شبه العشوائية

تستخدم أحجام جداول التجزئة ومولدات الأعداد شبه العشوائية (PRNGs) بشكل متكرر الحساب المعياري للأعداد الأولية لتقليل تصادمات التجزئة، ومنع التكتل، وتوزيع دلاء الذاكرة بالتساوي.

نظرية الأعداد والرياضيات البحتة

تُعد الأعداد الأولية محورية في بعض أعمق الألغاز غير المحلولة في العلوم، بما في ذلك فرضية ريمان، وحدسية غولدباخ، وتوزيع فجوات الأعداد الأولية.

التدقيق والصرامة

الدقة، المراجع الأكاديمية والحدود المعروفة

خوارزميات خضعت لمراجعة الأقران، وحدود حتمية وشفافية برمجية مطلقة.

Balanced mathematical scales flanked by brass divider compass and optical lens — **Zero Rounding, Zero Probabilistic Shortcuts** Every primality check uses exact arbitrary-precision BigInt integer arithmetic paired with verified deterministic bounds up to 2⁶⁴ − 1.

Live Browser Engine Self-Test

Verify engine.js directly in your browser against adversarial pseudoprimes, boundaries, and numbers above IEEE-754 float precision.

Click "Run 8 Edge Cases Now" to run live verification.

✓

ضمان حتمي للأولية

لجميع الأعداد الصحيحة n < 2⁶⁴ (حتى 18,446,744,073,709,551,615)، يقيّم محركنا القواعد الحتمية الـ 7 التي أثبتتها CP-Algorithms وسورينسون وويبستر. هذا الاختبار هو برهان رياضي وليس احتمالاً: لا يمكن لأي أشباه أعداد أولية أو أعداد كارمايكل اجتيازه.

#

حدود الذاكرة والقدرة الحسابية

تعاني مواقع الآلات الحاسبة القياسية من أخطاء تقريب الفاصلة العائمة IEEE 754 في JavaScript فوق 2⁵³ − 1 (9,007,199,254,740,991). يقوم محركنا بتحليل سلاسل الأرقام الخام مباشرة إلى أنواع BigInt الأصلية ذات الدقة الاختيارية، مما يضمن عدم وجود أي خطأ اقتطاع.

⚙

الأدبيات والمراجع العلمية

يتم التحقق من كل عملية نشر مقابل مجموعات اختبارات الوحدات الآلية التي تغطي أول 10,000 عدد أولي في OEIS، وفخاخ كارمايكل المركبة المعروفة (561، 1105، 1729، 2465)، وأسس ميرسين، والأعداد الأولية التوأم، وبراهين الأولية النسبية الإقليدية.

المراجع الأكاديمية والمصادر الموثوقة

Crandall, R., & Pomerance, C. (2005): Prime Numbers: A Computational Perspective. الطبعة الثانية، Springer-Verlag. (مرجع تأسيسي حول قواعد ميلر-رابين، وخوارزمية رو لبولارد، واختبار Baillie-PSW).
Sorenson, J., & Webster, J. (2015): Strong Pseudoprimes to Twelve Prime Bases. مجلة Mathematics of Computation، 85(301)، ص 2489–2503.
OEIS: موسوعة المتتاليات الصحيحة عبر الإنترنت (OEIS): المتتالية A000040: الأعداد الأولية.
GIMPS: البحث الكبير عبر الإنترنت عن أعداد ميرسين الأولية (GIMPS): المتتبع الرسمي لأكبر الأعداد الأولية القياسية المعروفة. (2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹ − 1).
CP-Algorithms: CP-Algorithms & e-maxx: خوارزمية ميلر-رابين الحتمية لاختبار الأولية.

مواصفات المحرك الرياضي: تم التحقق منه واختباره معيارياً (نوفمبر 2026) قراءة المنهجية الرياضية والبراهين الكاملة ←

الأسئلة الشائعة

الأسئلة الشائعة (FAQ)

إجابات علمية دقيقة ومبسطة عن أكثر التساؤلات شيوعًا حول الأعداد الأولية.

ما هو العدد الأولي؟

العدد الأولي هو عدد صحيح موجب أكبر تماماً من 1، وله قاسمان موجبان متمايزان فقط: 1 ونفسه. ومن الأمثلة الشائعة 2 و3 و5 و7 و11 و13 و97.

لماذا لا يُعد العددان 0 و1 أعداداً أولية؟

وفقاً للتعريف الرياضي الدقيق، يجب أن يمتلك العدد الأولي قاسِمين موجبين متمايزين تماماً. العدد 1 له قاسم موجب واحد فقط (نفسه)، فلا يستوفي الشرط. أما العدد 0 فله عدد لا نهائي من القواسم لأن 0 مقسوماً على أي عدد غير صفري يساوي 0 وباقي 0.

لماذا يُعد العدد 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد؟

أي عدد زوجي أكبر من 2 يقبل القسمة على 2 بالإضافة إلى 1 ونفسه (مثل 4 = 2 × 2، 6 = 2 × 3). وبما أن لها 3 قواسم على الأقل، فإن جميع الأعداد الزوجية الأكبر من 2 مركبة. العدد 2 هو الزوجي الوحيد الذي له قاسمان فقط.

هل العددان 7 و9 أوليان؟

لا. العدد 7 أولي لأن قاسميه هما 1 و7 فقط. أما 9 فهو عدد مركب لأن له ثلاثة قواسم موجبة: 1 و3 و9 (3 × 3 = 9).

كيف تتحقق مما إذا كان عدد كبير أولياً؟

للأعداد الصغيرة، تختبر الحواسيب القواسم الأولية حتى الجذر التربيعي ⌊√n⌋. أما للأعداد الصحيحة 64 بت حتى 18 كوينتيليون، فإن اختبارات ميلر-رابين الحتمية تقيم 7 قواعد مثبتة رياضياً (2، 325، 9375، 28178، 450775، 9780504، 1795265022) بيقين رياضي 100%.

ما هو أكبر عدد أولي؟

لا يوجد عدد أولي هو الأكبر، حيث أثبت إقليدس نحو 300 ق.م وجود عدد لا حصر له من الأعداد الأولية. ومع ذلك، فإن أكبر عدد أولي معروف حالياً اكتشفه مشروع GIMPS هو: 2^136,279,841 − 1 ويحتوي على 41,024,320 رقماً.

ما هي الأعداد الأولية نسبياً (المتبادلة)؟

يكون عددان أوليين فيما بينهما إذا كان القاسم المشترك الأكبر (GCD) لهما يساوي 1. ولا يلزم أن يكون أي منهما أولياً بمفرده؛ فعلى سبيل المثال 8 (2³) و9 (3²) كلاهما مركب، لكن gcd(8, 9) = 1، فهما أوليان فيما بينهما.

كم عدداً أولياً يقع بين 1 و100؟

يوجد بالضبط 25 عدداً أولياً بين 1 و100: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، و97. ومجموعها 1,060.

كيف يعمل التحليل إلى العوامل الأولية على آلة حاسبة Casio fx-991ES؟

في النماذج المدعومة مثل Casio fx-991ES PLUS، أدخل العدد الصحيح، ثم اضغط على [=]، ثم اضغط على [SHIFT] متبوعاً بمفتاح [FACT] (فوق مفتاح الدرجات/الدقائق). ستعرض الشاشة تحليله الأولي مباشرة.

حاسبة الأعداد الأولية

97 هو عدد أولي

كيف تعمل حاسبة الأعداد الأولية لدينا

مخطط انسيابي تفاعلي لعملية الحساب

أدخل عددًا صحيحًا

انقر على فحص العدد

طالع النتائج والبرهان

أدوات الأعداد الأولية

مولد الأعداد الأولية

التحليل إلى العوامل الأولية

العدد الأولي التالي والسابق

العدد الأولي رقم N

مجموع الأعداد الأولية

الأعداد الأولية بين قيمتين

فاحص الأعداد الأولية فيما بينها

دالة عد الأعداد الأولية π(x)

جدول الأعداد الأولية 1–100

Factor Tree Calculator

Twin Prime Calculator

Prime Gap Calculator

Sieve of Eratosthenes

Bulk Prime Checker

Random Prime Generator

Prime Number Theorem

Goldbach Calculator

Semiprime Calculator

Mersenne Prime Calculator

Prime Power Calculator

Special Prime Checker

Prime Distribution & Ulam Spiral

RSA Prime Demo

Fraction Prime Factorization

How to Check If a Number Is Prime

ما هو العدد الأولي؟

النموذج الهندسي: اختبار المستطيل للأولية

التعريف والأمثلة

لماذا لا يُعد 0 و 1 أعدادًا أولية

مقارنة: الأعداد الأولية مقابل الأعداد المركبة

لماذا يُعد 2 العدد الأولي الزوجي الوحيد

هل 7 و 9 أعداد أولية؟

كيفية التحقق مما إذا كان العدد أوليًا

محاكي تفاعلي: حد الجذر التربيعي والقسمة التجريبية

فحوصات قابلية القسمة حتى √n

فحص قابلية القسمة حتى √n

مثال محلول: هل 97 عدد أولي؟

مثال محلول: لماذا يُعد 91 عددًا مركبًا؟

اختصارات ذهنية لقابلية القسمة

قواعد قابلية القسمة واختصارات الأولية

مخطط تفاعلي: عجلة باقي القسمة على 6 (6k ± 1)

قاعدة الأولية 6k ± 1

لماذا لا توجد صيغة بسيطة للأعداد الأولية

جدول الأعداد الأولية من 1 إلى 100

الأعداد الأولية من 1 إلى 1,000

مخطط تفاعلي: توزيع الأعداد الأولية حسب المئات

المحطات التاريخية في متتالية الأعداد الأولية

المحطات الرئيسية في متتالية الأعداد الأولية

#1 → 2

#25 → 97

#100 → 541

#1,000 → 7,919

#5,000 → 48,611

#10,000 → 104,729

دالة عد الأعداد الأولية π(x) والكثافة

تعداد الأعداد الأولية حسب قوى العشرة

ماذا تعني دالة العد π(x)؟

مبرهنة الأعداد الأولية (PNT)

البحث عن الأعداد الأولية ضمن نطاق

حساب العدد الأولي التالي والسابق

الجوار المباشر مقابل الحدود الشاملة

مسلمة برتراند وتساوي المسافات

التحليل إلى العوامل الأولية مع الخطوات

مخطط تفاعلي لشجرة العوامل وسلم القسمة

فاحص الأعداد الأولية فيما بينها (التباين)

خطوات القسمة في خوارزمية إقليدس

هل يمكن لعددين مركبين أن يكونا أوليين فيما بينهما؟

لماذا تهم الأولية النسبية في التشفير

أعداد تبدو أولية (وهي مركبة في الواقع)

تفكيك 91: أشهر عدد أولي زائف

النقطة المعرفية العمياء

أنواع خاصة من الأعداد الأولية